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卡西尔以伽利略的科学实践为例反驳了这一点。他说，“当伽利略创建他的动力学新科学时，他不得不从一个完全孤立的物体，一个不受任何外力影响而运动的物体的概念开始。这样一种物体从来未被观察到过，也绝不可能被观察到。它并不是一个现实的物体，而是一个可能的物体——并且在某种意义上说甚至都是不可能的，因为伽利略的结论所依据的条件——不具任何外力的作用——在自然界中绝不会实现。……如果没有这些完全不真实的概念的帮助，伽利略就不可能提出他的运动理论，也不可能发展出‘一门处理一个非常古老的问题的新科学’来。而这一点也同样适用于几乎所有其它伟大的科学理论。这些理论乍一看来总是似是而非的，只有具有非凡的理智胆略的人才敢于提出来捍卫之。”卡西尔认为证明这一点的最好方法或许莫过于考察数学史了。他说：

数学最基本的概念之一就是数。自从毕达哥拉斯的时代以来，数一直被看作成是数学思想的中心问题。发现一个全面的充分的数论，成了这个领域的研究者们的最大最迫切的任务。但是在这方面研究的每一步上，数学家和哲学家们都碰到了同样的困难。他们总是不得不扩大他们的领域，不得不引进‘新的’数。所有这些新的数都具有极其似是而非的特性，它们初次出现时都引起了数学家和逻辑学家们的深深怀疑，从而被看成是不可思议的或不可能的。我们可以在负数、无理数和虚数的历史中追溯这种发展。“无理的”这个词本身就意味着一个不可思议和不可言说的东西。负数最早出现在十六世纪米歇尔？斯蒂费尔的《整数算术》中，在那里它被称为“虚构的数”（ｎｕｍｅｒｉ　ｆｉｃｔｉ）。而在很长时间内，甚至最伟大的数学家们都把虚数的概念的观念看成是不解之谜。

数字虽然是人对客观现实的一种主观映象，但人类在使用数字之初，数字总是与客观现实保持着紧密的联系。在那个时候，人使用数，实际上是在作算术运算。换言这，人常常是在“现实主义”的层次上使用着“数字”。从更广泛的层次上看，人最初使用语言也是处于“现实主义”的层次——语言只被用于表达一种客观的事实，如“结绳纪事”。但当语言发展到相对精致和完善的状态后，人就开始浪漫主义地（非实用性、游戏性地）使用语言，虚构性地使用语言，如语言来编造谎言、神话、歌谣、故事。同样道理，人在使用数字进行算术计算的过程中，逐渐开始虚构性地使用数字，甚至虚构出新的数字，使数字从“现实”和“实用性”中抽身出来。这样，人不仅能模拟性地（现实主义地）使用数字，而且能虚拟性地（浪漫主义地）使用数字。在最深的层次上，数学与文学，与神话是同一回事——都是虚拟性地使用语言，构造一个独立于现实（当然也不排拆与现实的某种类似和契合）的体系和世界。计算机的计算最能体现人是如何在模拟和虚拟两个层次上使用数字的。计算机的计算早已不是算术式的计算。二者之间的差别正好就是我们用手指来计算与我们用手指来操作键盘和鼠标之间的差别。当我们用手指来操作键盘和鼠标时，我们实际上是在用数字来虚构一个世界。此时的手指对于虚构的世界而言有如上帝的手指，它们是“创世”（“造物”）的手指。０和１这两个数字并非物质性的数，却可以作为一种特殊的“材料”来构造一种有声有色的“现实”——“虚拟性”或“人工性”的“现实”。计算机不仅仅能够帮助我们认识现存的世界，能够进行纯观念性的推演，而且能够“制造”出一个“世界”来。

第十六章　比特与原子的命运

１６．１　“０”的发现

应该强调的是，数或数目（ｎｕｍｂｅｒ）与数字（ｄｉｇｉｔ）并不是一回事。数字是数目的意义代理者，而且不是必然的、唯一的代理者，它既可能是实物，也可能是符号，既可能是人工的，也可能是天成的（如手指）。

然而各个代理者的抽象程度是不一样的。它越是抽象，它的自然、经验程度越低，它的适用度（包括广度和深度）也就越高。在这一点上，数字与概念是相似的——内涵与外延成反比。当我们用十个手指进行计算时，我们进行１０以上的加减运算就很困难甚至不可能（更不用说用它来进行乘除运算了）。如果用许多小木棍来作为计算工具，运算起来就方便多了。但在进行更大数目的运算时，使用小木棍作运算工具又显得捉襟见肘了。

为此，人必须采用削减数的代表者的自然和物理属性的方法来来提高计算的方便和适用程度，即以尽可能同质化的（同质化意味着基本要素的减少和趋同）符号