第7部分(第1/4 页)

式标以数字，而且它们也同样可以具有任意的形状，因此，桌面上的每一点就有一个u值和一个v值。我们把这两个数称为桌面的坐标（高斯坐标），例如图中的P点就有高斯坐标u=3；　v=1。这样，桌面上相邻两点P和P'就对应于坐标

P：　u；v

P'：u＋du；v＋dv

其中du和dv标记很小的数。同样，我们可以用一个很小的数ds表示P和P'之间的距离（线间隔），好象用一根小杆测量得出的一样。于是，按照高斯的论述，我们就有

其中g11；g12；g22是以完全确定的方式取决于u和v的量。量g11；g12；g22决定小杆相对于u曲线和v曲线的行为，因而也就决定小杆相对于桌面的行为。对于所考虑的面上的诸点相对于量杆构成一个欧几里得连续区的情况，而且只有在这个情况下，我们才能够简单地按下式来画出以及用数字标出u曲线和v曲线：

在这样的条件下，u曲线和v曲线就是欧几里得几何学中的直线，并且它们是相互垂直的。在这里，高斯坐标也就成为笛卡儿坐标。显然，高斯坐标只不过是两组数与所考虑的面上的诸点的一种缔合，这种缔合具有这样的性质，即彼此相差很微小的数值各与“空间中”相邻诸点相缔合。

到目前为止，这些论述对于二维连续区是成立的。但是高斯的方法也可以应用到三维、四维或维数更多的连续区。例如，如果假定我们有一个四维连续区，我们就可以用下述方法来表示这个连续区，对于这个连续区的每一个点，我们任意地把四个数x1；x2；x3；x4与之相缔合，这四个数就称为“坐标”。相邻的点对应于相邻的坐标值。如果距离ds与相邻点P和P'相缔合，而且从物理的观点来看这个距离是可以测量的和明确规定了的，那么下述公式成立：

其中g11等量的值随连续区中的位置而变。唯有当这个连续区是一个欧几里得连续区时才有可能将坐标x1。。x4与这个连续区的点简单地缔合起来，使得我们有

在这个情况下，与那些适用于我们的三维测量的关系相似的一些关系就能够适用于这个四维连续区。

但是我们在上面提出的表达ds2的高斯方法并不是经常可能的，只有当所考虑的连续区的各个足够小的区域被当作是欧几里得连续区时，这种方法才有可能。例如，就大理石桌面和局部温度变化的例子而言，这一点显然是成立的。对于石板的一小部分面积而言，温度在实际上可视为恒量；因而小杆的几何行为差不多能够符合欧几里得几何学的法则。因此，前节所述正方形作图法的缺陷要到这个作图扩展到了占桌面相当大的一部分时才会明显地表现出来。

我们可以对此总结如下：高斯发明了对一般连续区作数学表述的方法，在表述中下了“大小关系”（邻点间的“距离”）的定义。对于一个连续区的每一个点可标以若干个数（高斯坐标），这个连续区有多少维，就标多少个数。这是这样来做的：每个点上所标的数只可能有一个意义，并且相邻诸点应该用彼此相差一个无穷小量的数（高斯坐标）来标出。高斯坐标系是笛卡儿坐标系的一个逻辑推广。高斯坐标系也可以适用于非欧几里得连续区，但是只有在下述情况下才可以，即相对于既定的“大小”或“距离“的定义而言，我们所考虑的连续区的各个小的部分愈小，其表现就愈象一个真正的欧几里得系统。

26．狭义相对论的空时连续区可以当作欧几里得连续区

现在我们已有可能更严谨地表述闵可夫斯基的观念，这个观念在第17节中只是含糊地谈到一个。按照狭义相对论，要优先用某些坐标系来描述四维空时连续区。我们把这些坐标系称为“伽利略坐标系”。对于这些坐标系，确定一个事件或者换言之确定四维连续区中一个点所用的四个坐标x；y；z；t；在物理意义上具有简单的定义，这在一书第一部分已有所详述。从一个伽利略坐标过渡到相对于这个坐标系作匀速运动的另一个伽利略坐标系时，洛伦兹变换方程是完全有效的。这些洛伦兹变换方程构成了从狭义相对论导出推论的基础，而这些议程的本身也只不过是表述了光的传播定律对于一切伽利略参考系的普适有效性而已。

闵可夫斯基发现洛伦兹变换满足下述简单条件。我们考虑两个相邻事件，这两个事件在四维连续区中的相对位置，是参照伽利略参考物体K用空间坐标差dx；dy；dz和时间差dt来表示的。我们假定这两具事件参照另一个伽利略坐标系的差相应地dx'