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C。从自然结构的形式化跟自然结构心理发生学上的发展二者之间的关系这个观点来看，重提一下如下事实是很有启发的，即：尽管形式化有其独立性和威力，但现在已经证明它具有确定不移的局限性（参看戈德尔、塔斯基、丘奇、克利恩、图灵、勒文海姆－斯科莱姆等人的著作）。虽然这些局限性是可以替换的，因而是随着结构的向前发展而减少的，但它们在下列意义下仍然是真实的，即：非常彻底的形式理论，如果只根据它自身的体系，是既不能证明它本身的无矛盾性，也不能证明其所有定理的可判定性的，它还需要以“更强的”体系作为基础来作出这种证明。由于更强的结构只能跟在它以前的结构之后出现（例如，超穷算术之出现在初等算术之后），在阶梯式体系中最简单的结构又总是最弱的结构（在这里就是罗素的《数学原理》的逻辑对于初等算术的关系），我们觉得我们自己面临着两个看来多半与发生学的看法有联系的基本事实：（a）存在着把结构按其“强度”排列的阶梯式体系，（b）需要对结构作建构主义的处理，因为结构的系统不能正确地比喻为建立在其台基上的静止的金字塔，而只能比作其高度在不断地增加的螺旋体。

如果情况是如此，我们怎么能解释形式化的可以替换的局限性呢？我们猜想，形式化跟发生学的建构具有类似性，这种类似性提供了一个解答：形式和内容的概念在本质上是相对的，形式或形式化结构是不能达到一种完全的自主性的。在心理发展领域里，这是清楚的：感知运动结构对它们所调整的简单运动而言是形式，但对下一水平的内化了的和概念化了的活动而言则是内容；“具体”运演对上面这些活动来说是形式，但对十一岁到十五岁时已出现的形式化运演来说则是内容；再者，这些形式化运演对于在以后各水平上应用于它们的那些运演来说又只不过是内容了。同样地，在戈德尔所提出的例子中，初等算术是形式，它把类和关系逻辑包括进来作为其内容（数是归类和序列化的综合，见本书第一章，第五节），而初等算术本身作为可数的东西的幂，则是超穷算术的内容。

如果情况是这样，人们就会看到，形式必然是会有局限性的，这就是说，在没有整合到一个更全面的形式中去时，它不能保证自身的前后一致性，因为它的存在本身是从属于整个建构过程的，它只是这个过程的一个特殊方面。让我们举一个没有数那么专门的例子。在具体运演水平上，我们能在分类和序列化之间分析出某些隐含的关系来：在下述分类中，A＋A′＝B，B＋B′＝C，等等，把低级（这是与A′，B′，C′等等相对立的类）归到高级类中去的先后顺序，就是一个序列化过程：（A＜B＜C…）；相应地，人们也能以同样方式把一个级数的各项组合起来（第一、二两项构成的这个类把第一项包括在内，第一、二、三三项构成的这个类，又把前两项包括在内，如此等等）。然而，只要INRC群尚未建构成，就不可能把类和关系这两个“群集”的集联合到一个其反演和互反性获得了协调的、唯一的形式化体系之中：因此只要它们还没有整合到一个“更强的”结构之中，它们的形式化就仍然是不完全的。

这些意见该已表明，在研究逻辑认识论的重要问题时把发生学的研究方法考虑进去，是不会有什么损失的，而且也许会大有所得。但是我们应该小心地把逻辑的认识论同逻辑学家的论证技术区别开来。在后者那里心理发生学显然是没有什么地位的。

二、数学的认识论

克罗内克把“自然数”称做上帝的恩赐，同时宣称其余都是人类活动的成果，是要用前科学的起源来予以说明的。但是他从来没有真正搞清楚，这些人类成果——这是能够在“原始”社会中，在儿童身上，以及在上帝所创造的其他生物（不要忘了奥托·苛勒的鹦鹉）身上进行研究的——在性质上跟数学家们自己较近的工作颇为类似。因此，康托尔作为基础用以建立集合论的那种一一对应关系我们从远古年代的物物交换（用一个物体换取另一个物体）中就已经知道了，一一对应关系的形成在儿童甚至在较高级的脊椎动物身上都是可以详细考察到的。布尔巴基的三个“矩阵结构”，其初级的但又是清晰的形式可以在儿童的具体运演阶段上观察到（《研究报告》第十四卷）。麦克雷恩和爱伦堡的“范畴”概念从“组成性功能”的水平（见本书第一章第Ⅲ节）上起就可以在儿童身上应用：这种应用无疑地是在琐碎的意义上讲的，但它表明了范畴的基本结构（有其蕴含的功能和有限组合的一类客体的基本结构；见《研究报告》第十三卷）的普遍性。