第79章 方程进阶：参数之惑(第1/2 页)

第 79 章 方程进阶：参数之惑

随着学子们对一元二次方程的掌握日益熟练，戴浩文决定给他们带来更具挑战性的内容。

一天，课堂上，戴浩文说道：“同学们，经过这段时间的学习，大家对一元二次方程已经有了不错的理解和运用。今天，我们来探讨一些更复杂的情况，比如含参数的一元二次方程。”

学子们顿时全神贯注，眼神中透露出期待和一丝紧张。

戴浩文在黑板上写下一个方程：ax2 + bx + c = 0 （a≠0，a 为参数），然后问道：“大家想想，如果 a 的取值不同，这个方程的解会有怎样的变化？”

一位学子站起来说：“先生，如果 a 大于 0，抛物线开口向上；如果 a 小于 0，抛物线开口向下。”

戴浩文点头表示肯定：“很好，那对于方程的根的情况呢？”

这时，另一位学子回答：“可以通过判别式 b2 - 4ac 来判断，当它大于 0 时有两个不同的实根，等于 0 时有两个相同的实根，小于 0 时没有实根。”

戴浩文微笑着说：“非常正确。那我们来看一个具体的例子，若方程 x2 + 2ax + 1 = 0 有两个不同的实根，求 a 的取值范围。”

学子们纷纷低头思考，开始动笔计算。

过了一会儿，李华举手说道：“先生，由判别式可得，（2a）2 - 4 大于 0，解得 a 大于 1 或 a 小于 -1 。”

戴浩文称赞道：“李华解得很对。那如果我们再加上条件，说这两个实根都大于 0 ，又该如何求解呢？”

课堂上陷入了短暂的沉默，学子们都在绞尽脑汁地思考。

这时，一位平时不太起眼的学子站起来说：“先生，根据韦达定理，两根之和等于 -b\/a ，两根之积等于 c\/a 。所以在这个方程中，两根之和为 -2a 大于 0 ，两根之积为 1 大于 0 ，可以得到 a 小于 0 。结合前面判别式的结果，所以 a 的取值范围是 a 小于 -1 。”

戴浩文眼中闪过惊喜：“这位同学思考得很深入，非常好！”

接下来，戴浩文又给出了几个类似的含参数的方程，让学子们分组讨论。

讨论声在教室里此起彼伏，学子们各抒己见，气氛热烈。

“我们组觉得应该先考虑判别式，再结合韦达定理。”

“但是也要注意参数的取值范围是不是有限制条件。”

戴浩文在各个小组间穿梭，倾听他们的讨论，不时给予点拨和指导。

讨论结束后，每个小组都派代表分享了他们的解题思路和结果。

戴浩文总结道：“大家今天的表现都很棒，通过相互交流和合作，我们对含参数的一元二次方程有了更深入的理解。接下来，还有更多的挑战等着我们。”

课后，学子们依然沉浸在数学的世界中。

有学子说：“以前觉得数学很难，现在发现只要深入思考，其实很有趣。”

另一个学子回应：“是啊，而且和大家一起讨论，能学到很多不同的方法和思路。”

又过了几天，戴浩文在课堂上提出了一个新的问题：“同学们，假如现在有一个一元二次方程，它的根与某个函数的图像存在关联，你们能想到如何利用这种关系来解题吗？”

学子们陷入了沉思，过了一会儿，一位学子说道：“先生，是不是可以通过函数的性质来判断方程根的个数和范围？”

戴浩文点头道：“不错，那我们来看一个具体的例子。假设方程 x2 - 2x + k = 0 的根与函数 y = x2 的图像有关，已知函数在某一区间内的值域，如何确定 k 的取值？”

学子们纷纷动笔开始计算和推理。

李华说道：“先生，我们可以先求出函数 y = x2 在给定区间内的最值，然后根据方程根的判别式来确定 k 的范围。”

戴浩文微笑着鼓励道：“那你继续说说具体的思路。”

李华接着说：“比如，如果函数在区间 [1, 2] 上，最小值是 1，最大值是 4。那么方程要有根，判别式 b2 - 4ac 就要大于等于 0，也就是 4 - 4k ≥ 0，解得 k ≤ 1。”

另一位学子提出疑问：“那如果要保证方程有两个不同的根呢