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联和点数。这种群集所遵循的规则和数学的群的规则有些类似，也相当于行为的心理协调的最初形式。

群集的例子乃是简单分类系统、矩阵（按两个标准的分类系统）与基于关系和系谱的序列。皮亚杰相信这样的系统可以从儿童所进行的群的活动中直接看到（也可以从成人思惟中所显示的较复杂的结构中看到），甚至在主体可能还未意识到他自己的行为所表现出来的系统性特征时就可以看到。皮亚杰用命题逻辑来说明青年期的较复杂结构，他对那些包括在分类、排列顺序、点数和在时空范围内的放置和移置客体等具体运演，都称之为一级运演，而对表示命题或命题组合的言语的和形式的逻辑－数学运演，则称之为二级运演。

正如我们所了解的，皮亚杰认为儿童的逻辑的和数学的运演是来源于他对物体所做的简单活动；例如把物体进行组合或对应放置之类的活动。皮亚杰把这些活动区分为两个方面。

1。对物体本身直接进行的活动：诸如称重量、移置、转动东西等特定活动，这些活动的性质依赖于有关物体的物理特点，例如体积、重量和粘性。儿童可以通过实际称重量运演的结果而发现一个铅球和一个铁块同样重。

2。这些活动也显示出某些一般的相互协调——这些情况是在把物体联合、分开或对应放置的时候出现的。作为一个例子来想想一个儿童数十个弹子并发现它们总是十个的情况。在这个情况下，他实质上不是用弹子做试验，而是用他自己的活动，即排列顺序、点数、随意改变排列顺序来做试验，他看到不管他采取什么样的组合活动，不管他是从左数到右还是从右数到左，总是得到同样的结果。

对儿童来说这两方面的活动最初还是未分化的。但约到七、八岁时，他的行为协调的一般活动就转化为心理运演；一种演绎性质的限定的逻辑系统、数学系统和空间系统自身分化了。儿童不再需要做试验来了解十个物体不论它们的顺序如何排列都是十个；现在他能用逻辑方法来说明这一点了。在再晚一些的阶段，他就有可能处理一些数的概括、一些没有具体事例的代数式，最后就掌握了形式的假设－演绎系统。

说得更明确一些，皮亚杰是象下面所叙述的那样来看儿童思惟中逻辑与数的关系的。试想有ABC这么一套东西。儿童可以按照它们性质上的相似点，如颜色、大小和形状来把它们分类。为了使这些分类关系转换成为数的关系，儿童必须从这些性质中进行抽象，这样，任何两个东西同时可以看作是相同的又是不相同的，也就是说，处于系列关系之中。这样，他就得出一个单位的概念。这个单位是一个类中的一个元素（1包含于2中，2包含于3中，等等），同时也是一个系列中的一个元素。皮亚杰发现，一个数系列的概念，恰恰是在关系和类的逻辑出现的那个智力水平上形成的。因此，在儿童身上逻辑与数的出现既不是这一个从另一个中引伸出来的，也不是相互无关的，实质上是相辅相成的。在儿童思惟中建构数的方式，与逻辑学家用逻辑术语来给数下定义的尝试之间，既有不同之处，也有相似之处。

虽然皮亚杰关于逻辑和数学运演性质的叙述有其心理学的一面，但他与十九世纪一些人，如米尔把数学和逻辑放在经验基础上的尝试有所不同。皮亚杰清楚地认识到以下两个方面的区别：一方面是在儿童与成人思惟中产生的逻辑概念和数学概念，另一方面是逻辑与数学的形式化系统（它与心理学所考虑的内容无关，仅服从系统的规则）。

然而，皮亚杰的发生学的说明，多半会被某些哲学家当作与认识论研究无关而予以摒弃。他们可以辩论说，我们是发现逻辑－数学关系而不是要去建构它们。后一种观点的结果之一是逻辑与数学被迫跟一个由超时间的共相构成的静止世界对应，人们对于超时间的共相是通过纯粹直觉（或概念）而不是通过感知来认识的。直觉材料的自明性于是就和感知－经验的偶然性截然对立。但是我们体验这种直觉材料的途径也没有什么特殊之处；皮亚杰坚决主张，这是一个心理学问题，而不是一个规范的问题。

皮亚杰对卡尔纳普的语言逻辑句法中所包含的唯名论也抱批评的态度，唯名论假定逻辑是独立于我们之外的一种语言结构所固有的。皮亚杰反对这个观点，他会论证说：（1）语言根本上是一种行为活动；（2）言语交往只是社会交往的一种特殊情况；（3）我们日常思惟中的逻辑根源于我们的行为活动。

皮亚杰一定会希望把发生学的问题与有效性问题区分开来，就是说，把事实与规范区分开来。他会同意逻辑作