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功回球概率沿着图中的两条直线上升到交点之上，也就是超过48％。因此，40％的时间瞄准对方的正手就是发球者的最佳策略。

混合策略的确切比例是由基本行动配对而成的4种情况确定的。对于拥有不同的绝对优势和相对优势的选手，这里的数字90、60、30

和20会相应发生变化，而他们的最佳混合策略也会随之不同。我们很快就会发现，这样一些变化可能导致一些令人惊讶的结果。这里的关键在于，你必须通过估计你真正参加的博弈的4种基本情况，确定自己的最佳混合策略。

这里有一条捷径，使你不必画出前面提到的图表也可以计算出均衡策略。这个简单的算术方法归功于J。D．威廉斯。＇3＇回到基本情况的表格。对于发球者，如果选择瞄准对方正手的策略，就要观察对方选择两种不同的回应方式之一会使结果发生什么变化；我们得到90…30=60

。假设他瞄准对方反手发球，再做同样的计算，可得60…20=40　。将上述数字倒过来排列，就能得到最佳混合策略中采用这两种策略的概率。①

因此，发球者应该按照40：60的比例瞄准对方的正手和反手。

现在我们改从接球者的角度考察同一场比赛。图7…4显示了他的不同选择会有什么不同的结果。假如发球者瞄准他的反手，那么，他回①

我们可以用一点代数知识验证这个结果。假如纵列选手的得失情况如下图所示，左列对右列的均衡比例为（D…B）：（

A…C）。纵列选手选择左列的概率是p，那么，无论横行选手选择上或者下都没有关系；pA＋（1…p）B＝pC十1…P）D　意味着p　/（

1…p　）=（D…B　）/（A…C）

，如前所述。由于横行选手的得失是纵列选手的得失的负数，他的均衡混合策略就是上行对下行，即（D…C）：（A…B）。

球的时候向反手方移动就能得到60％的成功回球概率，而向正手方移动的成功回球概率只有20％。从O到100％改变向正手方移动的概率，就得到一条和上述两点相交的直线。与前面的分析类似，若是发球者瞄准对手的正手，我们就得到一条从30％上升到90％的直线。这两条直线交于一点，在这一点，接球者向正手方移动的概率为30％

，无论发球者选择瞄准哪一方，他的成功回球概率始终维持在48％。任何其他混合策略都会让发球者占便宜，使他得以选择更好的策略，将接球者的成功回球概率进一步降低到48％以下。

图7…4　接球手向正手移动的概率（％　）

此外，我们也可以采用威廉斯的方法。表格显示了接球者两种不同选择可能导致什么不同结果。若向正手方移动，我们得到90…20=70　；

向反手方移动，我们得到60…30=30。将这两个数字倒过来排列就得到最佳混合策略的比例：30％的时间准备向正手方移动，70％的时间准备向反手方移动。

你可能已经注意到，从两位选手的不同角度计算最佳混合策略，会得到一个有趣的共同点：两次计算会得到同样的成功回球概率，即48％。接球者若采用自己的最佳混合策略，就能将发球者的成功概率拉低到发球者采用自己的最佳混合策略所能达到的成功概率。这并非巧合，而是两个选手的利益严格对立的所有博弈的一个共同点。这个结果称为最小最大定理，由前普林斯顿数学家约翰·冯·诺伊曼（John

von　Nrumann）与奥斯卡·摩根斯顿（Oscar

Morgenstern）创立。这一定理指出，在零和博弈里，参与者的利益严格相反（一人所得等于另一人所失），每个参与者尽量使对手的最大收益最小化，而他的对手则努力使自己的最小收益最大化。他们这样做的时候，会出现一个令人惊讶的结果，即最大收益的最小值（最小最大收益）等于最小收益的最大值（最大最小收益）。双方都没办法改善自己的地位，因此这些策略形成这个博弈的一个均衡。

我们以网球比赛为例，并假设每个选手只有两种策略，以此证明这一定理。假如发球者想努力使接球者的最大成功率最小化，他应该在假设接球者已经正确预计到他的混合策略且会做出最优回应的基础上确定自己的行动。也就是说，接球者的成功率将是图7…5中两条直线的最大值。这个最大值的最小值出现在两条直线的相交处，该点的成功率为48％。